Question

8．己知函数f（x）=a•b^x的图象过点A（1，$\frac{1}{8}$），B（2，$\frac{1}{4}$）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a_n=log₂f（n），n∈N₊，S_n是数列{a_n}前n项和，求S₂₀；
（3）在（2）的条件下，若b_n=a_n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由于函数f（x）=a•b^x的图象过点A（1，$\frac{1}{8}$），B（2，$\frac{1}{4}$）．可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}=a•b}\\{\frac{1}{4}=a•{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a，b即可得出．
（2）a_n=$lo{g}_{2}{2}^{n-4}$=n-4，利用等差数列的前n项和公式即可得出．
（3）在（2）的条件下，b_n=a_n（$\frac{1}{2}$）ⁿ=（n-4）×$\frac{1}{{2}^{n}}$，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a•b^x的图象过点A（1，$\frac{1}{8}$），B（2，$\frac{1}{4}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}=a•b}\\{\frac{1}{4}=a•{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{16}$，b=2．
∴$f（x）=\frac{1}{16}•{2}^{x}$=2^x-4．
（2）a_n=log₂f（n）=$lo{g}_{2}{2}^{n-4}$=n-4，
∴a_n=n-4，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为-3，公差为1．
∴S_n=$\frac{n（-3+n-4）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}$-$\frac{7}{2}n$，
∴S₂₀=$\frac{1}{2}×2{0}^{2}$-$\frac{7}{2}×20$=130．
（3）在（2）的条件下，b_n=a_n（$\frac{1}{2}$）ⁿ=（n-4）×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=-3×$\frac{1}{2}$-2×$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$（n-5）×\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（n-4）×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=-3×$\frac{1}{{2}^{2}}$-2×$\frac{1}{{2}^{3}}$-…+$（n-5）×\frac{1}{{2}^{n}}$+（n-4）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$-3×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-（n-4）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=-2+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n-4）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=-1-$\frac{n-2}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=-2-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．