Question

(本小题满分12分)

设函数，的一个极值点是X = 3..

(I)求a与b的关系式（用a表示b,并求的单调区间；
(11)设a>0，若存在使得成立，求a的取值范围.

 

 

Answer 1

【解】（Ⅰ）f `(x)＝－e^3-x,              ………………1分

由f `(3)=0，得 －e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，        …..2分

则 f `(x)＝e^3-x＝－e^3-x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3-x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是极值点，∴－a－1≠3，即a≠－4, …..4分

当a<－4时，x₂>3＝x₁，则在区间（－∞，3）上，f `(x)<0，

 f (x)为减函数；在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。　　　　　　　　　　　　　…………5分

当a>－4时，x₂<3＝x₁，则在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f`(x)<0，f (x)为减函数…6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，由于f（x）连续，那么f (x)在区间上的值域是，而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^-1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在区间上的值域是.　…..8分　又在区间上是增函数，且它在区间上的值域是，………….10分

由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝()²≥0，所以只须仅须（a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范围是（0，）　　　　　……………12分.