Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对应的边a、b、c满足5（a²+c²）=5b²+6ac，且cosA=-

5

13

，
（I）求cosB和sinC的值．
（II）设a=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由5（a²+c²）=5b²+6ac，利用余弦定理可以求得cosB 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sinB和sinA的值，
由sinC=sin（A+B），利用两角和的正弦公式求出结果．
（Ⅱ）由正弦定理求得b的值，根据△ABC的面积等于

1

2

absinC，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）由5（a²+c²）=5b²+6ac，得  5（a²+c²-b²）=6ac，即5×2accosB=6ac，解得cosB=

3

5

，sinB=

4

5

．
又由 cosA=-

5

13

，得sinA=

12

13

，
所以，sinC=sin(A+B)=

12

13

×

3

5

-

5

13

×

4

5

=

16

65

．
（Ⅱ）由

a

sinA

=

b

sinB

得b=

13

3

，△ABC的面积是

1

2

absinC=

8

3

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理，同角三角函数的基本关系，求出cosB和sinB的值，是解题的关键．