Question

（2012•东莞二模）已知f（x）=2sin（

π

3

x+

π

6

），集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一行，得到数列{a_n}（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=b_n+a_2ⁿ，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用|f（x）|=|2sin（

π

3

x+

π

6

）|=2，求出M，可得数列{a_n}组成以1为首项，公差为3的等差数列，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用叠加法，结合等比数列的求和公式，即可求{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）由|f（x）|=|2sin（

π

3

x+

π

6

）|=2，得sin（

π

3

x+

π

6

）=±1
∴

π

3

x+

π

6

=kπ+

π

2

∴x=3k+1，k∈Z
∴M={x|x=3k+1，k∈N}，
∵把M中的元素从小到大依次排成一行，得到数列{a_n}（n∈N^*）．
∴a₁=1，a₂=4，a₃=7，…，依次组成公差为3的等差数列，
∴a_n=3n-2；
（2）当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a2n-1+a2n-2+…+a21+b₁
=3（2^n-1+2^n-2+…+2）-2（n-1）+1
=3•

2(1-2n-1)

1-2

-2（n-1）+1
=3•2ⁿ-2n-3
验证，当n=1时，上式也成立
∴b_n=3•2ⁿ-2n-3

点评：本题考查三角函数知识，考查等差数列的判定与通项，考查叠加法，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．