题目内容

如图，斜率为k的直线l过椭圆＝1(a＞b＞0)对称轴上的定点D(λa，0)(λ为非零常数，λ≠±1)，且l交椭圆于A、B两点．

(1)当k＝λ＝，且线段AB中点的横坐标等于时，求椭圆的离心率；

(2)试探究：在x轴上是否存在定点M，使·恒为定值？

答案：
解析：

　　解：

　　设直线的方程为

　　由，消去整理得，

　　

　　设，、，则

　　①，且②

　　(1)

　　由中点坐标公式及①式得，，解得(6分)

　　(2)若存在定点符合题意，可设(为常数)，且

　　(为常数)，则．

　　而，

　　则

　　即③

　　把①②两式代入③式，整理得，

　　④

　　(其中都为常数)

　　要使④式对变量恒成立，当且仅当

　　

　　解得，，故存在定点符合题意．

　　其中，，．(13分)


练习册系列答案
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精英家教网已知半椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)与半椭圆
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A1A|＞|B1B|，求
b
a
的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．
精英家教网如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．
（1）写出直线l的方程；
（2）求x1x2与y1y2的值；
（3）求证：OM⊥ON．
如图，已知双曲线C1：
y2
m
-
x2
n
=1（m＞0，n＞0），圆C2：（x-2）2+y2=2，双曲线C1的两条渐近线与圆C2相切，且双曲线C1的一个顶点A与圆心C2关于直线y=x对称，设斜率为k的直线l过点C2．
（1）求双曲线C1的方程；
（2）当k=1时，在双曲线C1的上支上求一点P，使其与直线l的距离为2．
（2013•杭州模拟）如图，由半圆x2+y2=1（y≤0）和部分抛物线y=a（x2-1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C经过点（2，3）．
（1）求a的值；
（2）设A（1，0），B（-1，0），过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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