Question

数列{a_n}中，，其前n项的和为S_n．
（1）设，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求S_n的表达式；
（3）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题中已知条件先求出b_n+1与b_n的关系即可证明数列{b_n}是首项为2，公差为1等差数列；
（2）先根据（1）中求得的b_n的通项公式即可求出a_n的通项公式，然后便可求出前n项的和为S_n的表达式；
（3）根据前面求得的Sn的表达式先求出的表达式，然后证明出（1-），即可证明证：．
解答：解：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
=（3分），
又∵b₁==2，
∴b_n是首项为2，公差为1的等差数列．（4分）

（2）∵b_n=2+（n-1）•1=n+1，
∴=，（6分）
∴S_n=（1-）+（-）+…+（-）=．
（3）证明：∵，（9分）
∴，

．（13分）
∴（1-）＜2++…+
=．（16分）
点评：本题主要考查了数列的基本性质以及数列与不等式的综合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．