Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，，.过直线的平面分别交棱，于E，F两点.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角为，且，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由线面平行的性质可得，取中点G，连接，则为平行四边形，由平面几何知识即，由线面平行的判定可得平面，再由线面垂直的性质即可得证；

（2）由题意，E、F分别为、的中点，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可得平面的一个法向量为、平面的一个法向量，由即可得解.

（1）证明：∵，平面，∴平面，

又面面，∴，

取中点G，连接，如图：

则为平行四边形，

∴，又，，故，

∴，∴，

又，，∴平面，

∴平面，

又平面，∴；

（2）由（1）知平面，∴即为直线与平面所成角，

∴，∴，解得，

又，∴E，F分别为，的中点，

取中点O，连接，则，，

由平面可得，，故平面，

以O为原点，，，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，，

故，，，

设平面的一个法向量为，

则，令得，

显然是平面的一个法向量，

∴，

由题知二面角的余弦值为.