Question

已知命题p:1∈{x|x²＜a},q:2∈{x|x²＜a}.

(1)当a为何值时,“p或q”为真命题；

（2）当a为何值时，“p且q”为真命题.

Answer 1

解:若命题p为真,则a＞1.

若命题q为真,则a＞4.

若“p或q”为真，则a∈{a|a＞1}∪{a|a＞4}={a|a＞1}.

若“p且q”为真，则a∈{a|a＞1}∩{a|a＞4}={a|a＞4}.

例5 命题甲:方程x²+mx+1=0有两个相异负根;命题乙:方程4x²+4(m-2)x+1=0无实根,这两个命题有且只有一个成立,求m的取值范围.

解:使命题甲成立的m的集合为A,使命题乙成立的m的集合为B,有且只有一个命题成立是求A∩(B)与(A)∩B的并集.

使命题甲成立的条件是m＞2,

∴集合A={m|m＞2}.

使命题乙成立的条件是Δ₂=16(m-2)²-16＜0,

∴1＜m＜3.∴集合B={m|1＜m＜3}.

若命题甲、乙有且只有一个成立,则有①m∈［A∩(B)］或②m∈［(A)∩B］.

若为①,则有A∩(B)={m|m＞2}∩{m|m≤1,或m≥3}={m|m≥3};

若为②,则有

B∩(A)={m|1＜m＜3}∩{m|m≤2}={m|1＜m≤2}.

综合①②可知,所求m的取值范围是{m|1＜m≤2,或m≥3}.

点评:(1)本题体现了集合语言、集合思想的重要作用;

(2)用集合语言来表示m的范围既准确又简明;

(3)今后注意结合问题具体情况,运用交集思想、并集思想、补集思想.