题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）当x=1时函数y=f（x）取得极小值，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），…（1分） $\text{[math]}$ ． …（3分）
∵x=1时函数y=f（x）取得极小值，
∴f'（1）=0． …（4分）
∴a=1． …（5分）
当a=1时，在（0，1）内f'（x）＜0，在（1，+∞）内f'（x）＞0，…（6分）
∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．
∴a=1有意义． …（7分）
（2）f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
$\text{[math]}$ ．
令f'（x）=0，得 $\text{[math]}$ ． …（9分）
①当a＜0时，

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+	+
f（x）	↘	极小值	↗	↗

∴当a＜0时，函数y=f（x）的单调递减区间为 $\text{[math]}$ ，单调递增区间为 $\text{[math]}$ ，（0，+∞）；
②当a＞0时，

x	（-∞，0）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f'（x）	-	-	0	+
f（x）	↘	↘	极小值	↗

∴当a＞0时，函数y=f（x）的单调递减区间为（-∞，0）， $\text{[math]}$ ，单调递增区间为 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），求出导函数 $\text{[math]}$ ，利用x=1时函数y=f（x）取得极小值，可得f'（1）=0，从而可知a=1．再验证x=1是函数y=f（x）的极小值点即可．
（2）f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），求导函数 $\text{[math]}$ ，令f'（x）=0，得 $\text{[math]}$ ．分a＜0，a＞0讨论，从而确定，函数y=f（x）的单调递减区间与单调递增区间．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值的求法，同时考查利用导数求函数的单调区间，解题时应注意分类讨论．