Question

设数列{a_n}、{b_n}满足a₁=4，a₂=，a_n+1=，b_n=．
（1）证明：a_n＞2，0＜b_n＜2（n∈N^*）；
（2）设c_n=log₃，求数列{c_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，数列{a_nb_n}的前n项和为{P_n}，求证：S_n+T_n＜P_n+．（n≥2）

Answer 1

【答案】分析：（1），b_n+1=，两式相乘得a_nb_n=a_n+1b_n+1，由此能够证明a_n＞2，0＜b_n＜2（n∈N^*）．
（2）由，得=2，由此能够求出数列{c_n}的通项公式．
（3）由，知=2（1+）=2+，令，数列{d_n}的前n项和为D_n，只要证明，（n≥2），就能得到S_n+T_n＜P_n+．（n≥2）
解答：（本题满分16分）
（1）∵，b_n+1=，
两式相乘得a_nb_n=a_n+1b_n+1，
∴{a_nb_n}为常数列，∴a_nb_n=a₁b₁=4；（2分）
∴，
∴，
∴0＜b_n＜2；
（若a_n=2，则a_n+1=2，从而可得{a_n}为常数列与a₁=4矛盾）；（4分）
（2）∵，
∴
=
=
=2，
∴=2，
∴{c_n}为等比数列，
∵c₁=1，∴．（8分）
（3）由，知=2（1+）=2+，
令，数列{d_n}的前n项和为D_n，很显然只要证明，（n≥2），
∵n≥2，∴．
∵==≤，
∴d_n=≤≤≤…≤d₂，
所以D_n=d₁+（d₂+d₃+…+d_n）≤
≤2+=2+=，
所以．（14分）
又a_nb_n=4，b_n＜2，故p_n=4n，且T_n＜2n，
所以=4n+=，n≥2．（16分）
点评：本题考查不等式的证明和数列的通项公式的求法，综合性强，难度大，是高考重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．