Question

已知函数y=f(x)(x∈R)满足：f(a^x)=a^x+1+1(a＞0，且a≠1)，定义数列{a_n}，a₁=b(b＞0)，a_n+1=f(a_n)-1(n∈N^*)．

(Ⅰ)证明数列{a_n}为等比数列；

(Ⅱ)假设T_n=a₁·a₂…a_n，S_n=a₁+a₂+a_n，Q_n=.

①试用T₃、S₃表示Q₃；

②Q_n能否写成含S_n，T_n的表达式，若能，求出这一表达式；若不能，请说明理由．

Answer 1

解: (Ⅰ)∵f(a^x)=a^x+1+1=a·a^x+1,

∴f(x)=ax+1, 

∴a_n+1=f(a_n)-1=a·a_n,又a₁=b＞0,

∴=a(n∈N^*). 

∴数列{a_n}为首项为b,公比为a,各项为正的等比数列. 

(Ⅱ)①方法一：

Q₃=, 

∵T₃=a₁a₂a₃=b³·a³,

∴b²a²=. 

又S₃=a₁+a₂+a₃=,

∴Q₃=. 

方法二：

T₃=a₁a₂a₃,T₃=a₃a₂a₁

∴T₃²=a₁a₃a₂²·a₁a₃=(a₁a₃)³

Q3=,又Q₃=,

∴2Q₃=()+

   =

∴Q₃=. 

②方法一：

Q_n=

 = 

∵T_n=a₁a₂a₃…a_n=b_n·,

∴b²a^n-1=. 

又S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

∴Q_n=. 

方法二：

利用=(a₁a_n)·(a₂a_n-1)·(a₃a_n-2)…(a_na₁)

2Q_n= （略）.

方法三：归纳，猜想，证明.（略）.