Question

19．如图，直线PB与⊙O交于A，B两点，OD⊥AB于点D，PC是⊙O的切线，切点为C．
（1）求证：PC²+AD²=PD²
（2）若BC是⊙O的直径，BC=3BD=3，试求线段BP的长．

Answer 1

分析 （1）由垂径定理和切割线定理得AD=BD，PC²=PA•PB=（PD-AD）（PD+AD），由此能证明PC²+AD²=PD²．
（2）求出AB=2BD=2，在Rt△BCP中，由射影定理得BC²=BA•BP，即可求出线段BP的长．

解答 证明：（1）∵直线PB与圆O交于A，B两点，OD⊥AB于点D，PC是圆O的切线，切点为C．
∴AD=BD，PC²=PA•PB=（PD-AD）（PD+AD）=PD²-AD²，
∴PC²+AD²=PD²．
解：（2）∵BC是⊙O的直径，
∴AC⊥AB，
∵D是AB的中点，
∴AB=2BD=2，
在Rt△BCP中，由射影定理得BC²=BA•BP，
∴BP=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查两线段的平方和等于第三条线段的平方的证明，考查射影定理的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．