Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，过、、三点的圆的圆心坐标为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线（为常数， ）与椭圆交于不同的两点和．

（ⅰ）当直线过，且时，求直线的方程；

（ⅱ）当坐标原点到直线的距离为，且面积为时，求直线的倾斜角．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线的方程为或、直线的倾斜角为或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据圆心在弦中垂线上，分别列出的垂直平分线方程及的垂直平分线方程，求两直线交点得圆心坐标，再根据 ，可求出，（Ⅱ）（ⅰ）设， ，则由可得，利用直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可得， ，消去参数可得一个等量关系，而由直线过得，解方程组可得值，即得直线方程，（ⅱ）原点到直线的距离即为的高，所以由面积可得，利用点到直线距离公式及弦长公式可得关于两个等量关系，解方程组可得值，即得直线的倾斜角．

试题解析：（Ⅰ） ， ， 的中点为， 的斜率为

∴的垂直平分线方程为

∵圆过点、、三点，∴圆心在的垂直平分线上.

，解得或（舍）

椭圆的方程为：

（Ⅱ）设，

由可得：

， ……③

（ⅰ） 直线过， ……④

，

从而……⑤

由③④⑤可得： ，或

直线的方程为或

（ⅱ）坐标原点到直线的距离为，

……⑥

结合③：

……⑦

由⑥⑦得：

面积为，

由可得：

设直线的倾斜角为，则

由于，所以或