题目内容
已知z1、z2是两非零复数,且|z1+z2|=|z1－z2|,求证:（
）2是负数.
证明:方法一:（化归思想）
设z1=a+bi,z2=c+di（a、b、c、dR）,则|z1+z2|=
,
|z1－z2|=
.
∵|z1+z2|=|z1－z2|,
∴
而
=
=
i,
又∵z1≠0,z2≠0,∴
≠0.
∴
为纯虚数.故（
）2是负数.
方法二:（整体思想）
∵|z1+z2|=|z1－z2|,z2≠0,两边同除以|z2|得|
+1|=|
－1|. ①
把
作为整体,设
=x+yi（x、y
R）.
①式可转化为|（x+1）+yi|=|（x－1）+yi|,解之得x=0.
又∵z1≠0,∴y≠0.∴
为纯虚数.
故（
）2为负数.
方法三:（用模的性质）
|z1+z2|=|z1－z2|
|z1+z2|2=|z1－z2|2
（z1+z2）（z1+z2）－（z1－z2）（z1－z2）=0
z1
+
z2=0.
又∵z1≠0,z2≠0,
∴z1≠0,z2≠0.两边同除以z2
得
+（
）=0.
∴
为纯虚数.故（
）2是负数.
方法四:（用模的几何意义）
由方法二得|
+1|=|
－1|,此方程表示
在复平面内对应点Z到点A（1,0）和到点B（－1,0）的距离相等,故点Z在AB的垂直平分线上,即在y轴（除去（0,0）点）上,即点Z在虚轴上.∴
为纯虚数.故（
）2为负数.
点评:不同的证明方法体现不同的数学思想,但整体思路都是想证明
为纯虚数.
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