Question

体积为1的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，求直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角．

Answer 1

分析：根据体积先求出AA₁=CC₁的长，连接BC₁，易证∠A₁BC₁是直线A₁B与平面BB₁C₁C所成的角，在直角三角形A₁BC₁中求出此角即可．

解答：解：由题意，可得体积V=CC1•S△ABC=CC1•

1

2

•AC•BC=

1

2

CC1=1，
∴AA₁=CC₁=2．
连接BC₁．
∵A₁C₁⊥B₁C₁，A₁C₁⊥CC₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，
∴∠A₁BC₁是直线A₁B与平面BB₁C₁C所成的角．BC1=

CC12+BC2

=

5

，
∴tan∠A1BC1=

A1C1

BC1

=

1

5

，
则∠A₁BC₁=arctan

5

5

；
即直线A₁B与平面BB₁C₁C所成角的大小为arctan

5

5

．

点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．