Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=

3

，若球O的体积为

20 5

3

π，则这个直三棱柱的体积等于（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．

  5

Answer 1

分析：根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A₁B₁C₁的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O₁A、O₁B、O₁C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O₁A=1，由球O的体积算出OA=

5

，然后在Rt△O₁OA中，用勾股定理算出O₁O=2，得三棱柱的高O₁O₂=4，最后算出底面积S_△ABC=

3

4

，可得此直三棱柱的体积．

解答：解：设△ABC和△A₁B₁C₁的外心分别为O₁、O₂，连接O₁O₂，
可得外接球的球心O为O₁O₂的中点，连接OA、OB、OC、O₁A、O₁B、O₁C
△ABC中，cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=-

1

2

∵A∈（0，π），∴A=

2π

3

根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O₁A=

BC

2sinA

=1
∵球O的体积为V=

4πR3

3

=

20 5

3

π，∴OA=R=

5

Rt△O₁OA中，O₁O=

OA2-O1A 2

=2，可得O₁O₂=2O₁O=4
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积S_△ABC=

1

2

AB•ACsin

2π

3

=

3

4

∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为S_△ABC×O₁O₂=

3

故选：B

点评：本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．