Question

18．设函数y=f（x）定于在实数集R上，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意示数m，n都有f（m+n）=f（m）•f（n）．
（1）证明f（x）在R上，恒有f（x）＞0；
（2）证明f（x）在R上是增函数．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法即可证明f（x）＞0，
（2）然后利用函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）在R上是单调递增函数．
证明：令m=0，n=2，则f（n）＞1，
∴f（0+2）=f（0）f（2）=f（2），
则f（0）=1
∵当x＞0时，f（x）＞1
∴当x＜0，则-x＞0，
得f（x-x）=f（x）f（-x）=f（0）=1，
得$f（x）=\frac{1}{f（-x）}＞0$，
故对于任意x∈R，都有f（x）＞0，
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
则x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上是单调递增函数．

点评 本题考查函数单调性的判断与应用，考查赋值法的运用，考查学生的推理能力．