Question

4．如图，在边长为5+$\sqrt{2}$的正方形纸片中剪下如图所示的扇形和圆，使它恰好成同一圆锥的侧面和底面，求此圆锥的体积．

Answer 1

分析 设小圆半径为r，可求得小圆的周长，利用扇形的弧长公式可得大扇形的半径，根据大扇形的半径+小扇形的半径+小扇形半径的$\sqrt{2}$倍=正方形对角线长，能求出小扇形的半径，从而能求出圆锥的底面半径，由此能求出此圆锥的体积．

解答 解：如图，在边长为5+$\sqrt{2}$的正方形纸片中，
AC=$\sqrt{（5+\sqrt{2}）^{2}+（5+\sqrt{2}）^{2}}$=2+5$\sqrt{2}$，
设小圆半径为r，则小圆周长为2πr，
∵在边长为5+$\sqrt{2}$的正方形纸片中剪下扇形和圆，
∴△OCD是等腰直角三角形，则OC=$\sqrt{2}r$，
设大圆半径为x，则$\frac{90π×x}{180}$=2πr，解得x=4r，
∴4r+r+$\sqrt{2}r$=$\sqrt{（5+\sqrt{2}）^{2}+（5+\sqrt{2}）^{2}}$，
解得r=$\sqrt{2}$，x=4$\sqrt{2}$，
∴圆锥的高h=$\sqrt{30}$，
∴圆锥体积V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{2π\sqrt{30}}{3}$．

点评 本题考查圆锥体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，根据正方形对角线长得到关系式：大扇形的半径+小扇形的半径+小扇形半径的$\sqrt{2}$倍=正方形对角线长是解决本题的关键．