Question

如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥面ABCD，BC∥AD，∠ABD=90°，BC=SD=

1

2

AD=1．
（1）证明：AB⊥平面SDB；
（2）若M为BS中点，求二面角M-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由线面垂直的判定与性质，结合题意即可证出AB⊥平面SDB；
（2）取AD中点O，连结OB，则四边形ODBC的为菱形，从而CD=AB=1，∠ADC=60°．建立如图所示空间直角坐标系，使y轴正方向与DC成30°角得D、A、C、S和M的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法解出平面MCD的一个法向量是

n

=(

3

，1，-

3

)，结合平面CDB的一个法向量为

m

=（0，0，1），利用空间向量的夹角公式加以计算，即可得出二面角M-CD-B的余弦值．

解答：解：（1）∵SD⊥面ABCD，AB?面ABCD，
∴SD⊥AB
∵BD⊥AB，AD∩BD=D，
∴AB⊥平面SDB；
（2）取AD中点O，连结OB，
∵Rt△ABD中，OB=

1

2

AD=1=BC=OD，∴四边形ODBC为菱形．
可得CD=AB=1，∠ADC=60°
建立如图所示空间直角坐标系，y轴的正方向与DC成30°角．
可得D（0，0，0），A（2，0，0），C（

1

2

，

3

2

，0），
S（0，0，1），M（

3

4

，

3

4

，

1

2

）
可得平面CDB的一个法向量为

m

=（0，0，1），
设平面MCD的法向量为

n

=(x，y，z)，得

n • DC = 1 2 x+ 3 2 y=0 n • DM = 3 4 x+ 3 4 y+ 1 2 z=0

，
取x=-

3

，得y=1，z=

3

，即

n

=(

3

，1，-

3

)，
设二面角M-CD-B的平面角的大小为α，则
cosα=|

m • n

| m |•| n |

|=|

0• 3 +0×1+1×(- 3 )

0+0+1 • 3+1+3

|=

21

7

．
∴二面角M-CD-B的余弦值等于

21

7

．

点评：本题给出特殊的四棱锥，求证线面垂直并求二面角的大小．着重考查了线面垂直的判定与性质、利用空间坐标系求二面角的角大小和空间向量的夹角公式等知识，属于中档题．