Question

【题目】已知⊙： 与⊙： ，以， 分别为左右焦点的椭圆： 经过两圆的交点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）、是椭圆上的两点，若直线与的斜率之积为，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）的面积为定值3.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设两圆的交点为，依题意有解得，进而得；

（Ⅱ）讨论斜率不存在和斜率存在时两种情况，设直线的方程为， ， ，直线与椭圆联立得， ，由，得，表示面积即可得定值.

试题解析：

（Ⅰ）设两圆的交点为，依题意有，

由椭圆定义知，解得；

因为， 分别为椭圆的左右焦点，所以，解得，

所以求椭圆的方程为；

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，设

又

设直线的方程为， ， ，

由，得，

由，得 （*）

且， ，

∴

∵，∴，

整理得，

代入（*）得，

∵

原点到直线的距离

∴（定值）。