题目内容

已知AB是过椭圆

x2

25

+

y2

16

=1左焦点F₁的弦，且|AF₂|+|BF₂|=12，其中F₂是椭圆的右焦点，则弦AB的长是______．

∵椭圆的方程为

x2

25

+

y2

16

=1，∴a=5，b=4，可得c=

a2-b2

=3
根据椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=10
得（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=20
∵AB是过椭圆

x2

25

+

y2

16

=1左焦点F₁的弦，得|AF₁|+|BF₁|=|AB|
∴|AB|=20-（|AF₂|+|BF₂|）=20-12=8
故答案为：8

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给出下列命题：
①已知椭圆

=1的两个焦点为F₁，F₂，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是

．（把你认为正确命题的序号都填上）

已知圆的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A₁、A₂，直线A₁A₂恰好经过椭圆

=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设AB是椭圆

=1（a＞b＞0）垂直于x轴的一条弦，AB所在直线的方程为x=m（|m|＜a且m≠0），P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线l：x=

于两点Q、R，求证

已知圆的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A₁、A₂，直线A₁A₂恰好经过椭圆 $数学公式$ 的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设AB是椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）垂直于x轴的一条弦，AB所在直线的方程为x=m（|m|＜a且m≠0），P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线 $数学公式$ 于两点Q、R，求证 $数学公式$ ．

已知圆的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A₁、A₂，直线A₁A₂恰好经过椭圆

的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设AB是椭圆

（a＞b＞0）垂直于x轴的一条弦，AB所在直线的方程为x=m（|m|＜a且m≠0），P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线

于两点Q、R，求证

给出下列命题：
①已知椭圆

的两个焦点为F₁，F₂，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：

的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）