Question

（普通班）已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

（实验班）已知函数R)．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的的切线方程；

（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（实验班）（Ⅰ）解：当时，．

，                                 

因为切点为（）， 则，               

所以在点（）处的曲线的切线方程为：．   

（Ⅱ）解法一：由题意得，即． 

，         

因为，所以恒成立，

故在上单调递增，                        

要使恒成立，则，解得．

解法二：             

（1）当时，在上恒成立，故在上单调递增，

即．                

（2）当时，令，对称轴，

则在上单调递增，又     

① 当，即时，在上恒成立，

所以在单调递增，

即，不合题意，舍去

②当时，， 不合题意，舍去  

综上所述：                                

20．(普通班)解：（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………1分

又∵的离心率为……………………………… 2分

∴，∴a=，b=2………………………… 4分

∴标准方程为………………………………………6分

（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由得……………………7分

∴x₁+x₂=，x₁x₂=

由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴＜0…………8分

∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0

即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…………………… 9分

  ∴＜0…………… 11分

∴k＜……… 12分

经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）……13分

 

【解析】略