题目内容
生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：| 测试指标 | [70，76） | [76，82） | [82，88） | [88，94） | [94，100] |
| 元件A | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
| 元件B | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
【答案】分析：（Ⅰ）查出正品数，利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率计算公式及数学期望的定义即可得出；
（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于140元的正品数，再利用二项分布列的计算公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为
．
元件B为正品的概率约为
．
（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．
∴随机变量X的所有取值为90，45，30，-15．
∵P（X=90）=
=
；P（X=45）=
=
；P（X=30）=
=
；
P（X=-15）=
=
．
∴随机变量X的分布列为：
EX=
．
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．
依题意得 50n-10（5-n）≥140，解得
．
所以 n=4或n=5．
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）=
=
．
点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式是解题的关键．
（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率计算公式及数学期望的定义即可得出；
（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于140元的正品数，再利用二项分布列的计算公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为
． 元件B为正品的概率约为
． （Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．
∴随机变量X的所有取值为90，45，30，-15．
∵P（X=90）=
=
；P（X=45）=
=
；P（X=30）=
=
；P（X=-15）=
=
．∴随机变量X的分布列为：
EX=
． （ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．
依题意得 50n-10（5-n）≥140，解得
．所以 n=4或n=5．
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）=
=
．点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式是解题的关键．
练习册系列答案
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生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为
次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 |
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元件A | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
元件B | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；
（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；
（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．
生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于
为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各
件进行检测，检测结果统计如下：
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测试指标 |
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元件A |
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元件B |
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（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记
为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．