题目内容

函数y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+
4x
，且当x∈[-3，-1]时，n≤f（x）≤m，则m-n的最小值为
 
．
分析：利用偶函数的定义求出函数在[-3，-1]上的解析式，利用导数求出函数的最值，求出差．
解答：解：当x∈[-3，-1]时-x∈[1，3]
∵当x＞0时，f（x）=x+
4
x

∴f（-x）=-x-
4
x

∵函数y=f（x）是偶函数
∴f（x）=-x-
4
x
，x∈[-3，-1]
∵f′（x）=-1+
4
x2
=
4-x2
x2

当-3≤x＜-2时，f′（x）＜0；当-2＜x＜-1时，f′（x）＞0
所以当x=-2时，函数有最小值4；当x=-3时f（-3）=
13
3
；
当x=-1时，f（-1）=5所以函数的最大值为5
所以m=5，n=4，
故m-n=1，
故答案为1．
点评：本题考查偶函数的定义、利用导数求函数的单调性及求函数的最值．
练习册系列答案
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精英家教网读图分析解答：设定义在闭区间[-4，4]上的函数y=f（x）的图象如图所示（图中坐标点都是实心点），完成以下几个问题：
（1）x∈[-2，3]时，y的取值范围是
 
．
（2）该函数的值域为
 
．
（3）若y=f（x）的定义域为[-4，4]，则函数y=f（x+1）的定义域为
 
．
（4）写出该函数的一个单调增区间为
 
．
（5）使f（x）=3（x∈[-4，4]）的x的值有
 
个．
（6）函数y=f（x）是区间x∈[-4，4]的
 
函数．（填“奇”；“偶”或“非奇非偶”）
（7）若方程f（x）=5-3a在区间[-4，4]上有且只有三个解，求f（a）的取值范围．
设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f(
13
)=1，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；                
（2）判断函数的奇偶性；
（3）试判断函数的单调性，并求解不等式f（x）+f（2+x）＜2．
（2006•宝山区二模）已知f（x）=
10x+a10x+1
是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 数 f-1（x），判断f-1（x）的奇偶性，并给予证明；
（3）若函数y=F（x）是以2为周期的奇函数，当x∈（-1，0）时，F（x）=f-1（x），求x∈（2，3）时F（x）的表达式．
已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）证明函数y=f（x）是R上的单调性；
（2）讨论函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若f（x2-2）+f（x）＜0，求x的取值范围．
设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足，，且当x>0时，f（x）>0。
(1)求f（0）的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)如果，求x的取值范围。

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