Question

（2012•安徽模拟）设函数f（x）=-2x³+3（1-2a）x²+12ax-1（a∈R）在x=x₁处取极小值，x=x₂处取极大值，且

x

2 1

=x2．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极大值与极小值的和．

Answer 1

分析：（1）求导函数，分类讨论，利用

x

2 1

=x2，即可求得满足条件的a的值；
（2）由（1）知，x₁=-1，x₂=1，求出函数极小值与极大值，即可求函数极小值与极大值的和．

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=-6x²+6（1-2a）x+12a=-6（x-1）（x+2a）
令f'（x）=0，可得x=1或x=-2a
①若a≤-

1

2

时，x₁=1，x₂=-2a，由

x

2 1

=x2，可得1=-2a，a=-

1

2

，此时f′（x）≤0，函数无极值；
②若a＞-

1

2

时，x₁=-2a，x₂=1，由

x

2 1

=x2，可得4a²=1，a=

1

2

此时，x∈（-∞，-1），f′（x）＜0；x∈（-1，1），f′（x）＞0；x∈（1，+∞），f′（x）＜0
满足条件，综上知a=

1

2

（2）由（1）知，x₁=-1，x₂=1； f（x₁）=f（-1）=2-12×

1

2

-1=-5，
∴函数极小值为-5；
f（x₂）=f（1）=-2+12×

1

2

-1=3，
∴函数极大值为3
∴函数极小值与极大值的和为-2

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，正确求导是关键．