Question

【题目】定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界，已知函数．

（Ⅰ）若是奇函数，求的值．

（Ⅱ）当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由．

（Ⅲ）若函数在上是以为上界的函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）是（3）或

【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义得，解得的值（2）先分离得再根据单调性求值域，最后根据值域判定是否成立（3）转化为不等式恒成立，再分离变量得最值，最后根据最值求实数的取值范围．

试题解析：解：（ ）由是奇函数，则，

得，即，

∴， ．

（）当时， ．

∵，∴，∴，满足．

∴在上为有界函数．

（）若函数在上是以为上界的有界函数，则有在上恒成立．

∴，

即，

∴，化简得： ，

即，

上面不等式组对一切都成立，

故，

∴或．