Question

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F₂（1，0）．      
（Ⅰ）求点F₁关于直线l的对称点F₁′的坐标；
（Ⅱ）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（Ⅲ）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q 到F₂的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设F₁‘的坐标为（m，n），则且．由此能求出点F₁′的坐标．
（Ⅱ）由|PF₁′|=|PF₁|，得2a=|PF₁′|+|PF₂|=|F₁F₂|=，由此能求出椭圆方程．
（Ⅲ）由，知椭圆的准线方程为x=±2．设点Q的坐标为（t，2t+3）（-2＜t＜2），d₁表示点Q到F₂的距离，d₂表示点Q到椭圆的右准线的距离．则=，令，则=，由此能求出最小值和此时点Q的坐标．
解答：解：（Ⅰ）设F₁的坐标为（m，n），则且．
解得，因此，点F₁′的坐标为（-）．
（Ⅱ）∵|PF₁′|=|PF₁|，根据椭圆定义，
得2a=|PF₁′|+|PF₂|=|F₁F₂|=，
∴．∴所求椭圆方程为．
（Ⅲ）∵，∴椭圆的准线方程为x=±2．
设点Q的坐标为（t，2t+3）（-2＜t＜2），d₁表示点Q到F₂的距离，d₂表示点Q到椭圆的右准线的距离．
则，d₂=|t-2|．
=，令，则=，
∵当，，t=-，f′（t）＞0．
∴f（t）在t=-时取得最小值．
因此，最小值=，此时点Q的坐标为（-）（14分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用椭圆性质，注意合理地进行等价转化．