Question

已知函数f(x)＝sin²x＋2sinxcosx＋3cos²x，x∈R，求：

(1)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；

(2)函数f(x)的单调增区间．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：本小题利用三角公式将函数解析式化为y＝Asin(ωx＋)＋B(A＞0，ω＞0)的形式再求解． 　　(1)解法一：∵f(x)＝＋sin2x＋2＋sin2x＋cos2x＝2＋sin(2x＋)． 　　∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋，因此，f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x|x＝kπ＋，k∈Z}． 　　解法二：∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋sin2x＋2cos2x＝1＋sin2x＋1＋cos2x＝2＋sin(2x＋)， 　　∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋． 　　因此，f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x|x＝kπ＋，k∈Z}． 　　(2)解：f(x)＝2＋sin(2x＋)． 　　由题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 　　因此，f(x)的单调增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．