题目内容

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

（1）证明：设AD=DE=2AB=2a，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则
A（0，0，0），C（2a，0，0），B（0，0，a），D（a， $\text{[math]}$ a，0），E（a， $\text{[math]}$ a，2a），．
∵F为CD的中点，∴F（ $\text{[math]}$ ）．（2分）
$\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）．
$\text{[math]}$ =（a， $\text{[math]}$ a，a），
$\text{[math]}$ =（2a，0，-a），
∵ $\text{[math]}$ ，AF?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）解：设平面BCE的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z），由 $\text{[math]}$ 可得：
$\text{[math]}$ ，取x=1，则 $\text{[math]}$ =（1， $\text{[math]}$ ，2），（8分）
又 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ），设BF和平面BCE所成的角为θ，
则sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）设AD=DE=2AB=2a，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，利用向量的坐标运算得出 $\text{[math]}$ ，AF?平面BCE，AF∥平面BCE．
（2）求出平面BCE的一个法向量 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的夹角求解即可．
点评：本题考查直线和平面平行的判定，线面角大小求解．由于本几何体具有良好的建立空间直角坐标系的条件，所以选用了向量方法．可以降低空间想象难度，但要注意计算和关系的转化．