题目内容

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是棱AB，CC₁，D₁A₁，BB₁的中点；
（1）证明：FH∥平面A₁EG；
（2）求三棱锥A₁-EFG的体积．

解：（1）证明：∵FH∥B₁C₁，B₁C₁∥A₁G，∴FH∥A₁G．
又A₁G?平面A₁GE，FH?平面A₁GE，
∴FH∥平面A₁GE
（2）解：连接HA₁，HE，HG，由（1）得FH∥平面A₁GE，
∴ $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵A₁G= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）通过证明FH∥A₁G．利用A₁G?平面A₁GE，FH?平面A₁GE，推出FH∥平面A₁GE
（2）连接HA₁，HE，HG，利用 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 与A₁G，即可得到所求几何体的体积．
点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力、转化思想．

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③三棱锥D-BPC₁的体积为定值；
④直线CP与直线ABC₁D₁所成的角为定值．
其中真命题的个数为（　　）

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