Question

函数y=f（x）定义域为D，若满足：
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[m，n]⊆D使f（x）在[m，n]上的值域为[

m

2

，

n

2

]，那么就称y=f（x）为“减半函数”．若函数f（x）=loga(ax+t)(a＞0，a≠1，t≥0)是“减半函数”，则t的取值范围为

（0，

1

4

）

．

Answer 1

分析：由题意可知f（x）在D内是单调增函数，才为“减半函数”，从而可构造函数f(x)=

1

2

x，转化为loga(ax+t)=

1

2

x有两异正根，t的范围可求．

解答：解：因为函数f（x）=log_a（a^x+t），（a＞0，a≠1）在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“减半函数”，
∵f（x）在[m，n]上的值域为[

m

2

，

n

2

]，
∴

f(m)= m 2 f(n)= n 2

即

loga(am+t)= 1 2 m loga(an+t)= 1 2 n

∴方程f(x)=

1

2

x必有两个不同实数根，
∵loga(ax+t)=

1

2

x
∴ax+t=a

x

2

∴ax-a

x

2

+t=0
令b=a

x

2

，则b＞0
∴方程b²-b+t=0有两个不同的正数根，
∴

△=1-4t＞0 t＞0 1＞0

∴0＜t＜

1

4

故答案为（0，

1

4

）

点评：本题考查函数的值域，难点在于构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决，属于难题．