Question

5．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则下列结论中正确的个数是（　　）
①EF∥平面ABCD；
②平面ACF⊥平面BEF；
③三棱锥E-ABF的体积为定值；
④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30^o．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，由EF∥BD，能推导出EF∥平面ABCD；在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD₁，可知AC⊥面BDD₁B₁，从而得到面ACF⊥平面BEF；在③中，三棱锥E-ABF的体积与三棱锥A-BEF的体积相等，从而三棱锥E-ABF的体积为定值；在④中，令上底面中心为O，得到存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°．

解答 解：由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，知：
在①中，由EF∥BD，且EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正确；
在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD₁，可知AC⊥面BDD₁B₁，
而BE?面BDD₁B₁，BF?面BDD₁B₁，∴AC⊥平面BEF，
∵AC?平面ACF，∴面ACF⊥平面BEF，故②正确；
在③中，三棱锥E-ABF的体积与三棱锥A-BEF的体积相等，
三棱锥A-BEF的底面积和高都是定值，故三棱锥E-ABF的体积为定值，故③正确；
在④中，令上底面中心为O，当E与D₁重合时，此时点F与O重合，
则两异面直线所成的角是∠OBC₁，可求解∠OBC₁=30⁰，
故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°，故④正确．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．