Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 （a＞0，b＞0）的离心率为

3

，虚轴长为2

2

．
（1）求双曲线C的方程； （2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆 x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由

c

a

=

3

，b=

2

，知a=1，由此能求出双曲线方程．
（2）由

y=x+m x2- y2 2 =1

，得 x²-2mx-m²-2=0，故x₁+x₂=2m，所以AB中点（m，2m），代入圆方程能求出m的值．

解答：解：（1）∵e=

c

a

=

3

，
∴c=

3

a，
∵2b=2

2

，
∴b=

2

，
∵c²-a²=2，
∴a=1，
∴所求双曲线方程为 x²-

y2

2

=1；
（2）由

y=x+m x2- y2 2 =1

，
消y得 x²-2mx-m²-2=0，
△=4m²+4（m²+2）=8（m²+1）＞0，
x₁+x₂=2m，
∴AB中点（m，2m），
代入圆方程得m²+4m²=5，
∴m=±1．

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．