题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos（B-C）+1=4cosBcosC．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2
，△ABC的面积为2
，求b+c．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2
| 7 |
| 3 |
分析：（I）利用三角恒等变换，化简已知等式可得cos（B+C）=
，结合三角形内角的范围算出B+C=
，再利用三角形内角和即可得到A的大小；
（II）根据三角形面积公式，结合△ABC的面积为2
算出bc=8．再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，代入数据化简可得（b+c）2-bc=28，两式联解即可算出b+c的值．
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（II）根据三角形面积公式，结合△ABC的面积为2
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）∵2cos（B-C）+1=4cosBcosC，
∴2（cosBcosC+sinBsinC）+1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=1，可得2cos（B+C）=1，
∴cos（B+C）=
．
∵0＜B+C＜π，可得B+C=
．
∴A=π-（B+C）=
．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=
．
∵S△ABC=2
，∴
bcsin
=2
，解得bc=8． ①
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得
（2
）2=b2+c2-2bccos
，即b2+c2+bc=28，
∴（b+c）2-bc=28． ②
将①代入②，得（b+c）2-8=28，
∴（b+c）2=36，可得b+c=6．…（12分）
∴2（cosBcosC+sinBsinC）+1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=1，可得2cos（B+C）=1，
∴cos（B+C）=
| 1 |
| 2 |
∵0＜B+C＜π，可得B+C=
| π |
| 3 |
∴A=π-（B+C）=
| 2π |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=
| 2π |
| 3 |
∵S△ABC=2
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得
（2
| 7 |
| 2π |
| 3 |
∴（b+c）2-bc=28． ②
将①代入②，得（b+c）2-8=28，
∴（b+c）2=36，可得b+c=6．…（12分）
点评：本题给出三角形的角满足的条件，求A的大小，并在已知三角形面积的情况下求边长．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |