Question

如图，三棱柱ABC---A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，点M，N分别为A₁C₁与A₁B的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面 BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

分析：对（I），通过线线平行⇒线面平行．
对（II），通过证明BC垂直于平面内的两条相交直线，证线面垂直，再由线面垂直⇒面面垂直．

解答：证明：（Ⅰ）连接BC₁
∵点M，N分别为A₁C₁ A₁B的中点，
∴MN∥BC₁
∵MN?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴MN∥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC．
又∵AB⊥BC，AA₁∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁ABB₁
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁

点评：本题考查线面平行的判定与面面垂直的判定．对（I）也可过M作MF⊥A₁B₁于F，连接NF，通过证平面MNF∥平面BC₁，来证线面平行．