Question

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．
（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若η=aξ+b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=k）=

k

10

，可出分布列，再由期望、方差的定义求期望和方差；
（2）若η=aξ+b，由期望和方差的性质Eη=aEξ+b，Dη=a²Dξ，解方程组可求出a和b．

解答：解：
（Ⅰ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4
分布列为：

∴Eξ=0×

1

2

+1×

1

20

+2×

1

10

+3×

3

20

+4×

1

5

=1.5.ξ=(0-1.5)2×

1

2

+(1-1.5)2×

1

20

+(2-1.5)2×

1

10

+(3-1.5)2×

3

20

+(4-1.5)2×

1

5

=2.75.
（Ⅱ）由Dη=a²Dξ，得a²×2.75=11，即
a=±2．又Eη=aEξ+b，所以
当a=2时，由1=2×1.5+b，得b=-2；
当a=-2时，由1=-2×1.5+b，得b=4．
∴

a=2 b=-2

或

a=-2 b=4

即为所求．

点评：本题考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力．