Question

已知抛物线C：y²＝4x，O为坐标原点，动直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C交于A、B两点．

(1)求证：·为常数；

(2)求满足＝＋的点M的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：由得k²x²＋(2k²－4)x＋k²＝0．

　　由k≠0．且Δ＞0，得－1＜1＜1，且k≠0．

　　设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝＝－2，x₁x₂＝1．

　　(1)证明：·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋k²(x₁＋1)(x₂＋1)

　　＝(k²＋1)x₁x₂＋k²(x₁＋x₂)＋k²＝k²＋1＋k²()＋k²＝5，

　　∴·＝5为常数．

　　(2)解：＝＋＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)＝()．

　　设M(x，y)，则消去k得y²＝4x＋8．

　　又∵x＝＞2，故M的轨迹方程为y²＝4x＋8(x＞2)．