Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx，
（1）当a=b=

1

2

时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若b=2且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当 a=b=

1

2

时，h(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x
则 h′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=-

x2+x-2

2x

=-

(x+2)(x-1)

2x

，
∵h（x）的定义域为（0，+∞），令h'（x）=0，得x=1
∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上是单调递增；
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上是单调递减；
所以，函数h（x）=f（x）-g（x）的单调递增区间为（0，1）；单调递减区间为（1，+∞）．
（2）b=2时，h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x
则 h′(x)=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

因为函数h（x）存在单调递减区间，
所以h′（x）＜0有解．
即当x＞0时，则ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
①当a=0时，y=2x-1为单调递增的一次函数，y=2x-1＞0在（0，+∞）总有解．
②当a＞0时，y=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）总有解．
③当a＜0时，y=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，而y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）总有解，
则△=4+4a＞0，且方程y=ax²+2x-1=0至少有一个正根，
此时，-1＜a＜0
综上所述，a的取值范围为（-1，+∞）