Question

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角E-AC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把四边形面积分成2个直角三角形面积之和，代入棱锥体积公式进行计算．
（Ⅱ）先证 CD⊥平面PAC，由三角形中位线的性质得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC，从而证得平面PAC⊥平面AEF．
（Ⅲ）由三垂线定理作出∠EQM为二面角E-AC-D的平面角，并证明之，解直角三角形EQM，求出∠EQM的大小．

解答：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC=

3

，AC=2（1分）
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2

3

，AD=4（2分）
∴SABCD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CD=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5

2

3

（4分）
则V=

1

3

×

5

2

3

×2=

5

3

3

（5分）

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD（6分）
又AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC（7分）
∵E、F分别为PD、PC中点，
∴EF∥CD（8分）
∴EF⊥平面PAC（9分）
∵EF?平面AEF，
∴平面PAC⊥平面AEF（10分）

（Ⅲ）取AD的中点M，连接EM，则EM∥PA，
∴EM⊥平面ACD，过M作MQ⊥AC于Q，
连接EQ，则∠EQM为二面角E-AC-D的平面角．（12分）
∵M为AD的中点，MQ⊥AC，CD⊥AC，
∴MQ=

1

2

CD=

3

，又EM=

1

2

PA=1，
∴tan∠EQM=

EM

MQ

=

1

3

=

3

3

，故∠EQM=30°
即三面角E-AC-D的大小为30°（14分）

点评：本题考查用分割法求出棱锥的底面积，直线与平面垂直的判定以及求二面角的大小的方法．