Question

已知定点A（0，-1），点B在圆F：x²+（y-1）²=16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若曲线Q：x²-2ax+y²+a²=1被轨迹E包围着，求实数a的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根据椭圆的定义可求得动点P的轨迹E的方程；
（2）根据椭圆的几何性质（有界性），可求得实数a的最小值；

解答：解：（1）由题意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆．
设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
则2a=4，a=2，a²-b²=c²=1，故b²=3，
∴点p的轨迹方程为

y2

4

+

x2

3

=1
（2）曲线Q：x²-2ax+y²+a²=1化为（x-a）²+y²=1，则曲线Q是圆心在（a，0），半径为1的圆．
而轨迹E：

y2

4

+

x2

3

=1为焦点在y轴上的椭圆，短轴上的顶点(-

3

，0)，(

3

，0)
∵曲线Q被轨迹E包围着，则-

3

+1≤a≤

3

-1
∴a的最小值为-

3

+1．

点评：本题考查椭圆的定义和几何性质，以及点圆位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．