Question

（（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90^o，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于E.

（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P—DC—B的大小．

Answer 1

解法一：（1）证明：∵PB=PC，O为BC的中点，
∴PO⊥BC.
又∵平面PBC⊥平面ABCD，
平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴PO⊥平面ABCD.在梯形ABCD中，
可得Rt△ABO≌Rt△BCD.
∴∠BEO＝∠OAB+∠DBA＝∠DBC+∠DBA＝90o，
即AO⊥BD.
∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD…………………………6分
（2）解：∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，
∴DC⊥平面PBC.
∵PC平面PBC，∴DC⊥PC.
∴∠PCB为二面角P—DC—B的平面角.
∵△PCB是等边三角形，
∴∠PCB＝60o，即面角P—DC—B的大小为60o……………………12分
解法二：（1）因为△PBC是等边三角形，O是BC的中点，由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD.以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.

（1）证明：在直角梯形中，AB="BC=2. "
CD=1，在等边三角形中PBC中，PO=.
∴A（1，-2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，）.
∴=（-2，-1，0），=（1，-2，-）.
∵·=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0，
∴⊥，即PA⊥BD………………………………………………6分
（2）解：取PC的中点N，则N(-，0，).于是=(-，0，).
∵C（-1，0，0），∴=（0，1，0），=（1，0，），
∴·=(-)×1+0×0+×=0
∴⊥平面PDC.显然=（0，0，），且⊥平面ABCD.
∴，所夹角等于所求二面角的平面角.
∵·=(-)×0+0×0+×=，
||=，||=，∴cos<，>=.
∴二面角P—DC—B的大小为60o………………………………12分

略