Question

（本题满分15分）
把正整数按从小到大顺序排列成下列数表，数表中第行共有个正整数：

设是位于数表中从上往下数第行、从左往右数第个数
（1）若，求的值；
（2）记，求数列的通项公式；
（3）猜想与的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1） 
（2）              
（3）猜想：当时，；当时，    
证明：（法一）二项式定理的应用                       
（法二）数学归纳法

第一问，利用已知的数字可知到第行共有个数
时，
时，
所以，
第二问中，
，累加法得到
第三问中，
时，
时，
时，
时，
猜想：当时，；当时，并用数学归纳法得证。
解:（1）到第行共有个数
时，
时，
所以，               （3分）
（2）

由叠加可得                 （3分）
（3）
时，
时，
时，
时，
猜想：当时，；当时，      （3分）
证明：（法一）二项式定理的应用                       （6分）
（法二）数学归纳法