Question

过点P（0，-a）作直线l与抛物线C：x²=4ay（a＞0）相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则直线l的斜率为______．

Answer 1

设抛物线x²=4ay（a＞0）准线为m：y=-a
直线过定点P（0，-a）
过A、B分别作AM⊥m于M，BN⊥m于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
设B（x1，

x12

4a

），A（x2，

x22

4a

），
∴

x1 x2 = 1 2 x1 2 4a +2 x22 4a +2 = 1 2

，
解得A（±4

a

，4），B（±2

a

，1），
∵P（0，-a），B是AP的中点，
∴4-a=2，解得a=2，
∴A(±4

2

，4)，B(±2

2

，1)，P(0，-2)，
∴直线l的斜率k=

1-(-2)

±2 2 -0

=±

3 2

4

．
故答案为：±

3 2

4

．