Question

已知函数．
（I）若a=2，且，求x的值；
（II）若f（x）为奇函数，求a的值；
（III）当a=5时，函数f（x）的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）由=，得2^x=+1，解得x=log₂（+1）．
（II）由题意知，函数的定义域是R，
∵f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x），
即 ，即，
解得a=1．
（III）当a=5时，．
假设函数f（x）的图象是否存在对称中心，设其坐标为（h，k），
则对任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
即，
整理得，，
解得，
当a=5时，函数f（x）的图象存在对称中心，其对称中心为（0，2）．
分析：（I）把a=2代入方程，再将其转化为指数方程，根据指数函数的性质解指数方程即可．
（II）根据题意求出函数的定义域是R，再由f（x）=-f（-x）列出方程，整理后利用对应项的系数相等，求出a的值．
（III）假设存在对称中心，设其坐标为（h，k），则对任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，将函数的解析式代入其中化简求出h，k的值，因而满足条件的实数h，k存在，即存在对称中心．
点评：本题的考点是利用函数奇偶性求值，即利用奇（偶）函数的定义列出方程，化简后由对应项的系数相等求出参数的值，以及对称性问题的处理方法，注意题目中所应用的函数的思想，属于基础题．