Question

已知双曲线C₁和椭圆C₂：

x2

49

+

y2

24

=1有公共的焦点，它们的离心率分别是e₁和e₂，且

1

e1

+

1

e2

=2，求双曲线C₁的方程．

Answer 1

分析：先根据椭圆的方程求得焦点坐标和离心率，进而可知双曲线的半焦距，设出双曲线的标准方程，根据离心率

1

e1

+

1

e2

=2求得a，再利用c求得b．答案可得．

解答：解：椭圆方程

x2

49

+

y2

24

=1得
∴c₁=

49-24

=5
∴焦点坐标为（5，0）（-5，0），离心率e₁=

5

7

∴设双曲线方程为

x2

a 2

-

y2

b 2

=1
则半焦距c₂=5
由于

1

e1

+

1

e2

=2
∴

a

5

+

7

5

=2，a=3
b=

c2- a2

=4
∴双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=1

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．．在求曲线方程的问题中，巧设方程，减少待定系数，是非常重要的方法技巧．特别是具有公共焦点的两种曲线，它们的公共点同时具有这两种曲线的性质，解题时要充分注意．