Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且满足an+1=

an

4an+1

(n∈N*)．
（I）设bn=

1

an

，求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设cn=bn•2n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）为等差数列的证明，由an+1=

an

4an+1

(n∈N*)取倒数，得到

1

an+1

-

1

an

=4，即b_n+1-b_n=4，故数列{b_n}是以1为首项，4为公差的等差数列，易求通项公式．
（II）为数列的求和，由cn=bn•2n可知数列的每一项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成，故可由错位相减法求和．

解答：解：（Ⅰ）∵an+1=

an

4an+1

，∴

1

an+1

=4+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=4，∴b_n+1-b_n=4．
∴数列{b_n}是以1为首项，4为公差的等差数列．∴

1

an

=bn=1+4(n-1)=4n-3，
∴数列{a_n}的通项公式为an=

1

4n-3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=bn•2n=（4n-3）2ⁿ，
∴Sn=1×21+5×22+9×23+…+(4n-3)•2n…①
同乘以2得，2Sn=1×22+5×23+9×24+…+(4n-3)•2n+1…②
②-①得，-Sn=2-(4n-3)2n+1+4×(22+23+24+…+2n)
=2-(4n-3)2n+1+

4×22×(1-2n-1)

1-2

=2-（4n-3）2ⁿ⁺¹+16×2^n-1-16
=-14+2ⁿ⁺¹×（4-4n+3）=-14+（7-4n）2ⁿ⁺¹
∴数列{c_n}的前n项和Sn=(4n-7)•2n+1+14

点评：本题为数列的综合问题：（1）为等差数列的证明，关键是证明b_n+1-b_n为与n无关的常数．（2）为数列的求和，由错位相减法求和可得结果，注意运算过程中的等比数列的求和．