题目内容

已知数列 $数学公式$ ，且满足 $数学公式$ ，又 $数学公式$ ．
（1）证明：数列{b_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列c_n=na_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

解：（1）把 $\text{[math]}$ 取倒数得： $\text{[math]}$ （n≥2）
又 $\text{[math]}$ ，∴b_n-b_n-1=2，
∴{b_n}以2为首项，2为公差的等差数列，
∴b_n=2（n-1）+2=2n，
∴ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ；
（2）∴C_n=na_n= $\text{[math]}$ ，
T_n=（ $\text{[math]}$ +2）+（ $\text{[math]}$ +2•2²）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ +（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）
记S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹②
两式相减得S_n=-（2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹）=n×2ⁿ⁺¹-（2ⁿ⁺¹-2）=2+（n-1）2ⁿ⁺¹
∴T_n=2+ $\text{[math]}$ +（n-1）×2ⁿ⁺¹．
分析：（1）把 $\text{[math]}$ 取倒数得到b_n-b_n-1=2，从而得出{b_n}以2为首项，2为公差的等差数列，
根据等差数列通项公式可求得数列{b_n}的通项公式，进而求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可求得数列{C_n}的通项公式，数列{c_n}中的n•2ⁿ由等差数列和等比数列构成，进而可用错位将减法求和．
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和求和问题．当出现由等比数列和等差数列构成的数列求和时，一般采用错位相减法．