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已知函数及正整数数列. 若,且当时,有; 又,,且对任意恒成立. 数列满足:.

(1) 求数列及的通项公式;

(2) 求数列的前项和；

(3) 证明存在，使得对任意均成立

解析：(1) 由得： .因为是正整数列,所以.于是是等比数列.  又,, 所以 .                              

因为 ,所以,于是:,说明是以2为公比的等比数列. 所以

因为, 由题设知： ，解得：。

又因为且，所以。

于是。

(2) 由得：.由及得：

设                ①

　　　　　　　　②

当时，①式减去②式, 得

于是,

这时数列的前项和．

当时，．这时数列的前项和．

(3) 证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

　　　　                ③

由知，要使③式成立，只要，

因为

．

所以③式成立．

因此，存在，使得对任意均成立．

练习册系列答案
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已知函数f(x)=
2x+3
3x
，数列an满足a1=1，an+1=f(
1
an
)，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1，求a2n-1-a2n+1及Tn；
（3）令bn=
1
an-1an
(n≥2)，b1=1，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜
m-2004
2
对一切n∈N*成立，求最小正整数m．
已知函数f（x）=log3（ax+b）图象过点A（2，1）和B（5，2），设an=3f（n），n∈N*．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及数列{an}的通项公式；
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1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
对一切n∈N*均成立的最大实数a；
（Ⅲ）对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，记为{bn}，设Tn是数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=x2+x及两个正整数数列{an}，{bn}若a1=3，an+1=f'（an）对任意n∈N*恒成立，且b1=1，b2=λ，且当n≥2时，有
b
2
n
-1＜bn+1bn-1＜
b
2
n
+1；又数列{cn}满足：2（λbn+cn-1）=2nλbn+an-1．
（1）求数列{an}及{bn}的通项公式；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）证明存在k∈N*，使得
Cn+1
cn
≤
Ck+1
ck
对任意n∈N*均成立．

(本小题满分14分) 已知函数及正整数数列. 若,且当时,有; 又,,且对任意恒成立. 数列满足:.

(1) 求数列及的通项公式;

(2) 求数列的前项和；

(3) 证明存在，使得对任意均成立．

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