Question

设函数，其中，区间.
（Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为；
（Ⅱ）给定常数，当时，求长度的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

（1）令
解得     

的长度
（2）   则 
由 （1）
，令，得，由于
故关于在上单调递增，在上单调递减.，必定在或处取得

    

因此当时，在区间上取得最小值.
第（1）题求解一元二次不等式确定区间的取值范围，根据题意能够求出的长度，简单题；第（2）题要能理解其实就是求关于在给定区间内的最小值，通过求导就能确定最小值是当取何值，但此题易错点在于需要比较在与处的大小，利用作差或作商都可以解决，出题思路比较新颖，容易迷惑，但只要能够理解题意，基本能够求解出来.
【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.