Question

已知双曲线上的一点P与两焦点F₁，F₂所连成的三角形为直角三角形，且有一个内角为30°，F₁F₂为斜边，则双曲线的离心率

3

+1

．

Answer 1

分析：设|F₁F₂|=2c，依题意可求得|PF₁|，|PF₂|，从而可知2a，利用离心率的概念即可求得其答案．

解答：解：设|F₁F₂|=2c，
∵双曲线上的一点P与两焦点F₁，F₂所连成的三角形为直角三角形，且有一个内角为30°，F₁F₂为斜边，
∴不妨令∠PF₁F₂=30°，
|PF₁|=2csin60°=

3

c，|PF₂|=2csin30°=c，
∴|PF₁|-|PF₂|=（

3

-1）c=2a，
∴双曲线的离心率e=

2c

2a

=

2c

( 3 -1)c

=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF₁|，|PF₂|是关键，属于中档题．